Каталог заданий
9. Перестановки, комбинаторика, вероятности

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
 № 2098

Известно, что ученик подготовил ответы не на все из 16 выносимых на зачет вопросов.

а) Сколько вопросов он выучил, если известно, что вероятность того, что он сможет ответить на оба из случайно выбранных им двух вопросов, не меньше, чем \dfrac78?

б) Сколько вопросов он выучил, если известно, что вероятность того, что он сможет ответить только на один из случайно выбранных им двух вопросов, равна \dfrac12?

в) В каком случае вероятность того, что он сможет ответить на один случайно выбранный им вопрос, больше, чем вероятность того, что ему удастся ответить на два (по его выбору) из случайно выбранных им трех вопросов?

г) Учитель распределил случайным образом вопросы по восьми билетам (по два вопроса в каждом). Какова вероятность того, что ученик в состоянии ответить хотя бы на один вопрос каждого из билетов, если известно, что он подготовил ответы на 10 вопросов?

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1997 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

2
 № 2108

Каждая из граней куба закрашивается целиком белым или черным цветом. Раскраски двух кубов называются одинаковыми, если эти кубы невозможно различить (при этом их разрешается вращать в пространстве).

а) Найдите вероятность того, что при случайном раскрашивании куба все его противоположные грани имеют различные цвета.

б) Сколько всего существует различных раскрасок куба?

в) Двое людей по очереди закрашивают по одной грани куба. Раскрасив один куб, они принимаются за следующий. Докажите, что второй из них может добиться, чтобы все кубы оказались одинаково раскрашенными.

г) Найдите вероятность того, что при случайном раскрашивании двух кубов их раскраски оказались одинаковыми.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1998 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

3
 № 2129

Некоторое устройство может находится в одном из трех состояний (обозначаемых далее a, b и c). Если оно в некоторый момент находится, к примеру, в состоянии a, то через одну секунду оно перейдет в одно из состояний b или c (вероятность перехода в каждое из которых равна  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ). Обозначим через p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , где x принадлежит левая фигурная скобка a, b, c правая фигурная скобка , вероятность того, что через n секунд устройство будет находится в состоянии x; в начальный момент оно находится в состоянии a.

а) Вычислите p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка , x принадлежит левая фигурная скобка a, b, c правая фигурная скобка .

б) Может ли при некотором n вероятность p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , x принадлежит левая фигурная скобка a, b, c правая фигурная скобка , быть равной  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ?

в) Докажите, что \lim\limits_n\to бесконечность p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

г) Докажите, что утверждение, сформулированное в предыдущем пункте, равносильно тому, что

 \lim_n\to бесконечность дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 в степени n \sum_k\equiv i\pmod3C_n в степени k = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , \quad i=0,1,2.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

4
 № 2142

Обозначим через Pn множество всех наборов (t1, t2, ..., tn) целых чисел таких, что 0 ⩽ ti ⩽ i. Сопоставим каждому такому набору число N левая круглая скобка t_1, t_2,\ldots, t_n правая круглая скобка =t_1 умножить на 1! плюс t_2 умножить на 2! плюс \ldots плюс t_n умножить на n!.

а) Найдите все возможные наборы (t1, t2, t3, t4), для которых N(t1, t2, t3, t4) = 15.

б) Докажите, что N левая круглая скобка t_1,t_2,\ldots,t_n правая круглая скобка меньше или равно левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! минус 1.

в) Докажите, что N определяет взаимно однозначное соответствие между Pn и множеством всех неотрицательных целых чисел, меньших (n + 1)!.

г) Пусть j0, j1, ..., jn — некоторая перестановка чисел 0, 1, ..., n. Обозначим через ti количество чисел, меньших i, но стоящих справа от него в данной перестановке. Найдите все перестановки j0, j1, ..., j6, для которых N левая круглая скобка t_1,t_2,\ldots,t_6 правая круглая скобка =2002.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2002 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

Пройти тестирование по этим заданиям