Каталог заданий
8. Геометрические объекты

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
 № 1980

4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна единице. Обозначим: k_1, k_2 — отношения длин двух его ребер к третьему; S левая круглая скобка k_1, k_2 правая круглая скобка  — площадь поверхности этого параллелепипеда.

а) Вычислите S левая круглая скобка k_1, k_2 правая круглая скобка .

б) Докажите, что S левая круглая скобка k_1, k_2 правая круглая скобка меньше или равно 2 при k_1=k_2.

в) Пусть k_1=2. Найдите наибольшее значение S.

г) Пусть k_1=ak_2, a — действительный параметр. При каком значении k_2 площадь S наибольшая?

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 1
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 11 из 10

2
 № 2052

5. Назовем расстоянием между точками поверхности параллелепипеда длину кратчайшей ломаной на его поверхности, соединяющей эти точки. Пусть E и W — противоположные вершины параллелепипеда.

а) Найдите расстояние между вершинами E и W единичного куба.

б) При каких значениях a и b расстояние между вершинами E и W прямоугольного параллелепипеда единичного объема с длинами ребер a, a, b будет наименьшим?

в) Докажите, что расстояние между любыми парами точек поверхности единичного куба не превосходит расстояния между точками E и W.

г) Найдите длины ребер прямоугольного параллелепипеда единичного объема, расстояние между вершинами E и W которого принимает наименьшее значение.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

3
 № 2017

4. Пусть a, b, c — длины некоторых отрезков.

а) Докажите, что если a=\root 6 \of2, b=\root 6\of 3, c=\root 6 \of 7, то треугольник, который можно составить из этих отрезков, остроугольный.

б) Выясните, существует ли треугольник со сторонами a=19 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка , b=20 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка , c=21 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка .

в) Докажите, что если для любого натурального числа n существует треугольник со сторонами a^n, b^n, c^n, то все эти треугольники равнобедренные.

г) Пусть \varphi_n — угол треугольника со сторонами a=1, b=\root n \of2, c=\root n \of4 (n\geqslant}2), лежащий против средней из них. Докажите, что последовательность  левая фигурная скобка \varphi_n правая фигурная скобка монотонна, и вычислите ее предел.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

4
 № 2118

3Б. Будем считать, что Земля имеет форму шара радиусом R=6400 км. Известно, что радиоволны, на которых ведется телевещание, распространяются по прямой. Предположим, что телепередатчик расположен на высоте h от земной поверхности. Обозначим через l левая круглая скобка h правая круглая скобка расстояние по поверхности Земли от основания телебашни (или от той точки Земли, которая расположена ближе всего к ретрансляционному спутнику) до самой дальней точки, в которой возможен прием телепередачи.

а) Найдите наименьшее значение h, при котором прием возможен во всех точках некоторого меридиана севернее 60 градусов ю. ш. и южнее 60 градусов с. ш., если спутник висит над экватором?

б) Докажите, что \lim\limits_h\to0 дробь: числитель: l левая круглая скобка h правая круглая скобка , знаменатель: корень из 2Rh конец дроби =1.

в) Предположим, что передатчик размещен на Луне (т. е. на расстоянии 400 000 км от центра Земли). Покажите, что в этом случае l левая круглая скобка h правая круглая скобка меньше четверти длины экватора по крайней мере на 100 км.

г) Для того, чтобы обеспечить связь между двумя пунктами, расположенными на расстоянии 1600 км друг от друга, решено построить радиорелейную линию. Докажите, что если высота мачт этой линии равна 31,25 метра, то потребуются не менее 41 таких мачт.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 1
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 11 из 10

5
 № 2144

Будем говорить, что прямоугольник (трапеция) вписан в подграфик функции f, если одна из его (её) сторон лежит на оси абсцисс, а две вершины — на подграфике этой функции.

а) Найдите наибольшее значение площади прямоугольника, вписанного в подграфик функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 минус |x| в кубе правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac13 правая круглая скобка .

б) Верно ли, что из всех прямоугольников, вписанных в подграфик функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус x  левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка наибольшую площадь имеет тот, высота которого вдвое меньше его ширины?

в) Пусть S — наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус x  левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка . Докажите, что площадь вписанной в подграфик этой функции трапеции, основания которой параллельны оси ординат, меньше S.

г) Найдите все значения c, для которых наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус x плюс c  левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка , равна πc.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2002 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

Пройти тестирование по этим заданиям