Каталог заданий
7. Числа, числовые последовательности

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
 № 2008

5. Последовательность  левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка задана рекуррентно: x_1=a, x_n плюс 1=x_n в квадрате минус x_n минус 3 при всех n принадлежит \Bbb N.

а) Докажите, что если a — целое, то xn — нечетное число при всех n больше или равно 2.

б) Выясните, при каком значении a последовательность  левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка является стационарной.

в) Выясните, при каких значениях a последовательность  левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка является геометрической прогрессией.

г) Пусть a=4. Докажите, что последовательность  левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка не имеет предела.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 1
? Классификатор: Прогрессии
?
Сложность: 11 из 10

2
 № 2050

3. Последовательность  левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка задана формулой x_n=nx_n минус 1 минус 1, а x_0=c.

а) Докажите, что если c меньше или равно 1, то данная последовательность монотонна.

б) Докажите, что если c больше 2, то при всех натуральных n верно неравенство |x_n/n!| меньше или равно c.

в) Докажите, что если последовательность  левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка сходящаяся, то она стремится к нулю.

г) Докажите, что если число c рационально, то эта последовательность не имеет конечного предела.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

3
 № 2074

5. Числа E_n^k, где n, k — целые неотрицательные, определены равенствами E_n в степени k = левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка E_n минус 1 в степени k плюс левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка E_n минус 1 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , E_n в степени 0 =1 и E_n в степени k =0 при k\geqslant} n.

а) Докажите, что E_n в степени k =E_n в степени левая круглая скобка n минус k минус 1 правая круглая скобка .

б) Найдите отношение  дробь: числитель: E_11 в степени 5 , знаменатель: \!E_10 в степени 5 конец дроби .

в) Докажите, что для любых натуральных чисел p и n верно тождество

p в степени n =E_n в степени 0 C_p в степени n плюс E_n в степени 1 C_p плюс 1 в степени n плюс ... плюс E_n в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка C_p плюс n минус 1 в степени n .

г) Докажите, что E_n^k совпадает с числом таких перестановок a_1, a_2, \ldots, a_n чисел 1, 2, \ldots, n, для которых неравенство a_i больше a_i плюс 1 выполняется ровно для k значений i принадлежит \lbrace 1, 2, \ldots, n минус 1\rbrace.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1993 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

4
 № 2033

3. Дана последовательность  левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка _n=1 в степени левая круглая скобка бесконечность правая круглая скобка , где

a_n плюс 1= корень из 2 минус корень из 4 минус a_n в квадрате , a_1=c больше 0.

а) Докажите, что при всех n принадлежит \Bbb N выполнены неравенства  корень из 2 \leqslant}\dfraca_na_n плюс 1\leqslant}2.

б) Докажите, что последовательность  левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка убывает, и вычислите предел \lim\limits_n\to бесконечность a_n.

в) Пусть c=1. Докажите, что все числа an, n\geqslant}2, иррациональные.

г) Пусть c=2. Докажите, что \lim\limits_n\to бесконечность 2 в степени n a_n=2 Пи .

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

5
 № 2097

3А. Последовательность  левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка , n=0, 1, \ldots, задана соотношениями x_n плюс 1=2x_n в квадрате минус 1, x_0=c.

а) Найдите все c, при которых x_2 больше 0.

б) Докажите, что если c больше 1, то эта последовательность монотонна.

в) Найдите все непостоянные конечные арифметические прогрессии, образованные последовательными членами указанной последовательности.

г) Докажите, что существуют последовательности данного вида, имеющие сколь угодно большой период.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1997 год, вариант 1
? Классификатор: Прогрессии
?
Сложность: 11 из 10

Пройти тестирование по этим заданиям