Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ УРОК» (https://exam-urok.sdamgia.ru)
6. Многочлены
1.

3В. Положим p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 плюс x плюс \ldots плюс x в степени n .

а)  Докажите, что многочлен pn имеет вещественные корни тогда и только тогда, когда число n нечетно.

б)  Пусть z_1, z_2, \ldots, z_n  — комплексные корни многочлена pn. Докажите, что  левая круглая скобка 1 минус z_1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус z_2 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 минус z_n правая круглая скобка =n плюс 1.

в)  Найдите все n, при которых многочлен pn делится на 1 плюс x в кубе .

г)  Докажите, что

 \sum_k=0 в степени n C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в степени n p_n левая круглая скобка \tfracx плюс 12 правая круглая скобка .

2.

Даны многочлены p левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в степени левая круглая скобка 1998 правая круглая скобка плюс b и q левая круглая скобка x правая круглая скобка =cx в степени левая круглая скобка 1917 правая круглая скобка плюс d, a не равно 0.

а)  Найдите наибольшее возможное число действительных корней уравнения p левая круглая скобка x правая круглая скобка =q левая круглая скобка x правая круглая скобка .

б)  Пусть a=71, b=3, c=74 и d=0. Решите уравнение p левая круглая скобка x правая круглая скобка =q левая круглая скобка x правая круглая скобка .

в)  Пусть b=0 и c=1. Найдите все целые a, d, при которых число p левая круглая скобка n правая круглая скобка делится на q левая круглая скобка n правая круглая скобка при всех n принадлежит \Bbb N.

г)  Пусть d=0. Найдите все целые a, b, c при которых разность p левая круглая скобка n правая круглая скобка минус q левая круглая скобка n правая круглая скобка делится на  левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате при всех n принадлежит \Bbb N.

3.

Пусть p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка   — многочлен степени n.

а)  Известно, что числа 3 и 7 являются корнями многочлена p_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка и что p_2' левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =11. Найдите p_2' левая круглая скобка 7 правая круглая скобка .

б)  Известно, что числа 1 и 2 являются корнями многочлена p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка . Пусть p_3' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =k и p_3' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =l, причем kl больше 0. Докажите, что число, делящее отрезок  левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка в отношении k:l, является третьим корнем этого многочлена.

в)  Пусть p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3x в квадрате минус 1. Найдите все a, при которых многочлен p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс ax имеет ровно два действительных корня.

г)  Пусть p_1000 левая круглая скобка x правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ... левая круглая скобка x минус 1998 правая круглая скобка . Найдите все a больше или равно 0, при которых уравнение p_1000 левая круглая скобка x правая круглая скобка =a имеет 1000 различных действительных корней.

4.

Пусть p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени n плюс a_1x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_n, где n\geqslant2, коэффициенты a_1, a_2, \ldots, a_n вещественны и среди них один является отрицательным, все остальные  — положительны. Будем далее предполагать, что положительные корни многочлена p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка являются простыми (другими словами, не кратными).

а)  Может ли многочлен p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка иметь более двух положительных корней?

б)  Верно ли, что многочлен p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка имеет единственный положительный корень тогда и только тогда, когда a_n меньше 0?

в)  Пусть a_1 меньше 0, c  — положительный корень многочлена p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка . Докажите, что коэффициенты b_1,b_2,\ldots,b_n минус 1 многочлена  дробь: числитель: p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x минус c конец дроби отрицательны.

г)  Пусть a_1 меньше 0. Докажите, что многочлен p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка либо имеет ровно два положительных корня, либо не имеет их вообще.