Каталог заданий
6. Многочлены

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
 № 2089

3В. Положим p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 плюс x плюс \ldots плюс x в степени n .

а) Докажите, что многочлен pn имеет вещественные корни тогда и только тогда, когда число n нечетно.

б) Пусть z_1, z_2, \ldots, z_n — комплексные корни многочлена pn. Докажите, что  левая круглая скобка 1 минус z_1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус z_2 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 минус z_n правая круглая скобка =n плюс 1.

в) Найдите все n, при которых многочлен pn делится на 1 плюс x в кубе .

г) Докажите, что

 \sum_k=0 в степени n C_n плюс 1 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка p_k левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 в степени n p_n левая круглая скобка \tfracx плюс 12 правая круглая скобка .

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Прогрессии
?
Сложность: 11 из 10

2
 № 2107

Даны многочлены p левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в степени левая круглая скобка 1998 правая круглая скобка плюс b и q левая круглая скобка x правая круглая скобка =cx в степени левая круглая скобка 1917 правая круглая скобка плюс d, a не равно 0.

а) Найдите наибольшее возможное число действительных корней уравнения p левая круглая скобка x правая круглая скобка =q левая круглая скобка x правая круглая скобка .

б) Пусть a=71, b=3, c=74 и d=0. Решите уравнение p левая круглая скобка x правая круглая скобка =q левая круглая скобка x правая круглая скобка .

в) Пусть b=0 и c=1. Найдите все целые a, d, при которых число p левая круглая скобка n правая круглая скобка делится на q левая круглая скобка n правая круглая скобка при всех n принадлежит \Bbb N.

г) Пусть d=0. Найдите все целые a, b, c при которых разность p левая круглая скобка n правая круглая скобка минус q левая круглая скобка n правая круглая скобка делится на  левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате при всех n принадлежит \Bbb N.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1998 год, вариант 1
? Классификатор: Задачи о многочленах
?
Сложность: 11 из 10

3
 № 2119

Пусть p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка  — многочлен степени n.

а) Известно, что числа 3 и 7 являются корнями многочлена p_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка и что p_2' левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =11. Найдите p_2' левая круглая скобка 7 правая круглая скобка .

б) Известно, что числа 1 и 2 являются корнями многочлена p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка . Пусть p_3' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =k и p_3' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =l, причем kl больше 0. Докажите, что число, делящее отрезок  левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка в отношении k:l, является третьим корнем этого многочлена.

в) Пусть p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3x в квадрате минус 1. Найдите все a, при которых многочлен p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс ax имеет ровно два действительных корня.

г) Пусть p_1000 левая круглая скобка x правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ... левая круглая скобка x минус 1998 правая круглая скобка . Найдите все a больше или равно 0, при которых уравнение p_1000 левая круглая скобка x правая круглая скобка =a имеет 1000 различных действительных корней.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1999 год, вариант 1
? Классификатор: Задачи о многочленах
?
Сложность: 11 из 10

4
 № 2139

Пусть p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени n плюс a_1x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_n, где n\geqslant2, коэффициенты a_1, a_2, \ldots, a_n вещественны и среди них один является отрицательным, все остальные — положительны. Будем далее предполагать, что положительные корни многочлена p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка являются простыми (другими словами, не кратными).

а) Может ли многочлен p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка иметь более двух положительных корней?

б) Верно ли, что многочлен p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка имеет единственный положительный корень тогда и только тогда, когда a_n меньше 0?

в) Пусть a_1 меньше 0, c — положительный корень многочлена p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка . Докажите, что коэффициенты b_1,b_2,\ldots,b_n минус 1 многочлена  дробь: числитель: p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x минус c конец дроби отрицательны.

г) Пусть a_1 меньше 0. Докажите, что многочлен p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка либо имеет ровно два положительных корня, либо не имеет их вообще.


Задание парного варианта: 1744

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

Пройти тестирование по этим заданиям