Каталог заданий
4. Производная, интеграл

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
 № 1981

5. Дана функция y=x в квадрате и точка B левая круглая скобка 3, 5 правая круглая скобка .

а) Найдите координаты точек касания с графиком данной функции тех касательных, которые проходят через точку B.

б) Пусть A — точка касания, у которой меньшая абсцисса, а C — точка на графике с абсциссой x=3. Найдите площадь S треугольника ABC.

в) Обозначим через s площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезками BC, AB и дугой AC графика данной функции. Покажите, что s= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби S.

г) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для произвольной точки B подграфика данной функции.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

2
 № 2007

4. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из x . Точки пересечения прямой x=m с графиком функции f и осью абсцисс обозначаются соответственно A левая круглая скобка m правая круглая скобка и B левая круглая скобка m правая круглая скобка , касательная к графику в точке A левая круглая скобка m правая круглая скобка обозначается l левая круглая скобка m правая круглая скобка .

а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямой x=m, равна  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби mf левая круглая скобка m правая круглая скобка .

б) Пусть C — точка пересечения прямой l левая круглая скобка m правая круглая скобка с осью абсцисс. Найдите отношение площадей криволинейного треугольника AOC и прямолинейного ABC.

в) Пусть M и N — точки графика функции f, такие, что прямая MN параллельна l левая круглая скобка 4 правая круглая скобка . Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямой MN, осью абсцисс и перпендикулярами к ней из точек M и N, не превосходит 32.

г) Пусть y=g левая круглая скобка x правая круглая скобка  — непрерывная неотрицательная функция, определенная на  левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка , такая, что g левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =2 и при любом m больше или равно 0 площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, осями координат и прямой x=m, равна  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби mg левая круглая скобка m правая круглая скобка . Докажите, что g левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из x .

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

3
 № 2072

Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =6x в квадрате минус x в кубе .

а) Докажите, что фигуры, ограниченные отрезками горизонтальных касательных к графику функции f и дугами этого графика между точками его пересечения с касательными, имеют равные площади.

б) Докажите, что график функции f симметричен относительно точки A левая круглая скобка 2,16 правая круглая скобка .

в) Докажите, что прямая, касающаяся графика функции f в точке с абсциссой x_0, не равной двум, пересечет этот график еще в одной точке. Найдите абсциссу этой точки.

г) Докажите, что прямая, пересекающая график функции f в трех точках, одна из которых является серединой отрезка между двумя другими, проходит через точку A.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1993 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

4
 № 2016

3. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус 2 корень из x плюс 1, a больше 0.

а) Найдите все такие a, при которых функция f монотонна на луче  левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .

б) Пусть a=1. Найдите уравнения касательных к графику данной функции, проходящих через точку A левая круглая скобка 5, 0 правая круглая скобка .

в) Пусть a=1. Найдите все точки оси абсцисс, через которые проходит ровно одна касательная к графику функции f.

г) Найдите (при произвольном a больше 0) такое значение x_0, при котором фигура, ограниченная прямой, касающейся графика функции f в точке с абсциссой x_0, самим этим графиком и прямыми x= минус 1, x=2, имеет наименьшую площадь.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

5
 № 2035

5. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 плюс ax минус x в квадрате , прямая \ell, заданная уравнением y=2x плюс 8, и точка A левая круглая скобка 0, 4 правая круглая скобка .

а) Найдите все значения a, при которых прямая \ell касается графика функции f.

б) Пусть P и Q — точки касания прямой \ell с графиками y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка (при найденных в предыдущем пункте значениях a). Вычислите площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезком PQ и дугами AP, AQ этих графиков.

в) Пусть a=2. Найдите точку графика функции f, ближайшую к точке M левая круглая скобка минус 3, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

г) Найдите наименьшее значение площади сегмента, ограниченного графиком функции f и осью абсцисс.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

Пройти тестирование по этим заданиям