Каталог заданий
3. Комплексные числа

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
 № 1979

3. Множество C точек комплексной плоскости задано уравнением |iz плюс 2 плюс 2i|=1.

а) Нарисуйте множество C.

б) Найдите такие точки z принадлежит C, расстояние от которых до мнимой оси равно 13/5.

в) Найдите множество значений |z| при z принадлежит C.

г) Найдите множество значений \arg z в  левая квадратная скобка 0;2 Пи правая круглая скобка при z принадлежит C.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

2
 № 2006

3. Даны три комплексных числа: z_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка корень из 3 плюс 3i правая круглая скобка , z_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка минус корень из 3 плюс i правая круглая скобка ,\break z_3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка корень из 3 минус i правая круглая скобка .

а) Найдите расстояние от точки z_1 до фигуры, задаваемой уравнением |z минус z_3|=1.

б) Изобразите множество точек z комплексной плоскости, таких, что |z_2z минус z_1z_2|=|z_3z минус z_2z_3|.

в) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами z_2, z_3, а U и V — множества точек, которые пробегают при этом u=z_2z и v=z_3z. Изобразите пересечение множеств U и V.

г) Пусть z пробегает все точки отрезка с концами z_1, z_3. Изобразите множество всех точек, которое пробегает при этом w=z в квадрате .

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

3
 № 2051

4. Пусть A левая круглая скобка 2z плюс 1 правая круглая скобка , B левая круглая скобка z плюс 2 правая круглая скобка , C левая круглая скобка z в квадрате плюс 2z правая круглая скобка  — точки плоскости (здесь z — комплексное число).

а) Докажите, что если |z|=1, то OA=OB (O — начало координат).

б) Докажите, что треугольник

ABC подобен треугольнику с вершинами в точках 0, 1 и  минус левая круглая скобка z плюс 1 правая круглая скобка комплексной плоскости.

в) Пусть |z|=1. Найдите множество значений радиусов окружностей, описанных около треугольника ABC.

г) При каком значении z, где |z|=1, площадь треугольника ABC принимает наибольшее значение?

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

4
 № 2073

4. Пусть S — множество комплексных чисел, модуль которых равен единице.

а)Докажите, что все решения уравнения z в степени 6 плюс z в кубе плюс 1=0 принадлежат множеству S.

б) Найдите все решения уравнения 2z в кубе плюс iz в квадрате плюс 2iz=1, которые лежат в S.

в) Найдите все действительные a, при которых уравнение z в степени 6 плюс z в квадрате =a имеет решения, лежащие в S.

г) Найдите все значения c принадлежит S, при которых уравнение z в степени 6 плюс z в квадрате =c имеет решения, лежащие в S.

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1993 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

5
 № 2018

5. Пусть A левая круглая скобка i минус 1 правая круглая скобка , B левая круглая скобка 2i минус 1 правая круглая скобка , C левая круглая скобка 2 минус 3i правая круглая скобка  — точки плоскости, соответствующие указанным комплексным числам, \Cal S — окружность |z|=1, а \Cal D — множество комплексных чисел, заданное неравенством |2z минус 1| \leqslant} 1.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки P принадлежит \Cal S до точек A, B, C постоянна.

б) Изобразите на плоскости точки A, B и множество комплексных чисел вида z левая круглая скобка 2i минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус z правая круглая скобка левая круглая скобка i минус 1 правая круглая скобка , где z принадлежит \Cal D.

в) Найдите такую точку E принадлежит \Cal D и все такие равносторонние треугольники с вершинами на \Cal S, для которых сумма квадратов расстояний от их вершин до E наибольшая.

г) Выясните, верно ли, что для всякой точки w, лежащей в треугольнике ABC, найдется такое число z принадлежит \Cal D, что w=z z_k плюс левая круглая скобка 1 минус z правая круглая скобка z_j, где z_k, z_j принадлежит левая фигурная скобка i минус 1, 2i минус 1, 2 минус 3i правая фигурная скобка .

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1
?
Сложность: 11 из 10

Пройти тестирование по этим заданиям